（curvature）是描述几何体弯曲程度的量，例如曲面偏离平面的程度，或者曲线偏离直线的程度。在不同的几何学领域中，曲率的具体定义不完全相同。曲率可分为外在曲率和内蕴曲率，二者有重要的区别。前者的定义需要把几何体嵌入到欧式空间中，后者则是直接定义在黎曼流形上。

　　曲线的曲率通常是标量，但也可以定义曲率向量。对于更复杂的对象（例如曲面，或者一般的n维空间），曲率要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。

　　言简意赅的简介。本人有幸自学过一点微分几何（不过已经忘得差不多了，哈哈），才能来写这篇文章。毕竟非科班出身，如果表述不恰当的地方还请各位多多斧正！

　　弧长参数又称为自然参数，该参数的引入是意义非凡的。一个最为明显的意义在于，弧长作为参数就是将参数赋予了几何意义，这样在几何意义上，就可以将参数和曲线本身统一起来。那么现在就有一个问题了，为什么弧长可以作为参数？说明这个问题之前我们需要先知道如何求一条曲线的弧长。

　　我们按照上面的方式划分为n个小段，之后我们用直线将相邻的两个点连结起来，最后会得到一条折线，这条折线的长度记为：

　　t的取值和\sigma(t)肯定一直是非负值（因为其表示的是弧长），由于s(t)具有一般参数的基本特征（即可正可负），所以，s可以作为曲线的参数，这就是s可以作为参数的原因。所以，所得到的s(t)的值可能为负值，s(t)可以等价定义为：

　　(8)说明了s(t)是关于t的严格单调递增函数，所以，s(t)具有反函数，并将反函数设为t:=t(s)，将其带入到曲线方程中可以得到以s为参数的参数方程：

　　A点相切的半径不同的圆的弯曲程度不同，且半径越小，弯曲程度越大（即半径越小曲率越大），曲率可以精确的刻画曲线上任意一点的弯曲程度。

　　的弯曲程度要大于曲线的弯曲程度，所以在参数t由t_0变到t_1的时候，曲线处的切向量相对于在t_0处的切向量的方向的变化速度相较于曲线处的切向量相对于在t_0处的切向量的方向的变化速度要快（即\beta\alpha）。这说明了曲线的弯曲程度越大，从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快。所以，作为曲线在已知一曲线段PQ的平均弯曲程度可取为曲线在P,Q间切向量关于弧长的平均旋转角。设空间中C^3类曲线的方程为：\vec{r}=\vec{r}(z)\tag{14}

　　P,P_1两点各做曲线的切向量\vec{\alpha}(s),\vec{\alpha}(s+\Delta s)，并设两个切向量之间的夹角为\Delta\varphi，如下图所示：>

　　曲率计算图。图片来源：自己画的。我们可以利用空间曲线在点P处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点

　　曲线的切向量对弧长的旋转速度。当曲线在一点处的弯曲程度越大，则切向量对弧长的旋转速度就越大。但我们如何理解这里的对弧长的旋转速度呢？为了理解这个定义，我们现在需要回到定义自然参数之前。

　　当然，我们也可以将自然参数换回t参数，为了得到t参数下的曲率表达式。我们不妨来推导一下：设：\vec{r}=\vec{r}(t)

　　R的倒数，说明圆上各个点处的弯曲程度一致。其实这个结果具有必然性，即便是我们不知道曲率的计算公式，但如果我们知道半径越小的圆弯曲的越厉害的话，我们自然可以想到用半径的倒数来描述一个圆的弯曲程度。

　　>

　　由主法向量N和切向量T所张成的密切平面。B为副法向量。图片来源：。

　　观察上图，感受一下这个平面是不是与这条空间曲线是最贴近的呢？这就是密切平面了，显然，密切平面是由单位切向量和主法向量所张成的一张平面。现在我们可以定义曲率圆了。

　　\frac{1}{\kappa}为半径在密切平面上所确定的一个圆。其中点C称为曲率中心，\frac{1}{\kappa}称为曲率半径。>

　　曲率圆。图片来源：。到目前为止我们已经基本认识了曲线的曲率了，现在我们先停一下，再继续开始之前，我们顺便将Frenet标架中的最后一量也介绍了。

　　\vec{\gamma}，三者两两正交，且构成右手系。而利用空间曲线的曲率和挠率可以将这三者联系起来，这个关系成为Frenet公式。>

　　单位切向量T，主法向量N和副法向量B共同构成了空间曲线的Frenet标架，且三者两两正交并构成右手系。图片来源：。3.空间曲线的挠率和Frenet

　　利用副法向量的转动速度来描述空间曲线的扭转程度。设空间中C^3类曲线的方程为：

　　注：为何副法向量的旋转速度和密切平面的旋转速度都可以刻画空间曲线的求转程度呢？我认为是因为两者正交。

　　\vec{\dot\gamma}还不足以成为挠率，我们继续往下看，由曲率的定义：

　　注：即使我们不通过计算我们也能知道圆柱螺线的曲率和挠率都是常数，曲率是常数是因为圆柱螺线的水平投影是圆，而圆的曲率是常数，挠率是常数是因为z